Descarga tu ícono alterno favorito
Lo primero que tienes que hacer es bajar en tu Android en ícono que más te guste. Aquí tienes 2 opciones que fueron creadas por user_7down, un usuario de Reddit:
Color background w/ white glyph
White background w/ color glyph
Instala Awesome icons
Ya que seleccionaste el que será tu nuevo ícono para Instagram (o cualquier otra aplicación), dirígete a la Play Store y descarga Awesome icons totalmente gratis. Una vez que abras la app, busca Instagram y selecciónalo. Luego, toca sobre el botón ICON y verás un cuadro de dialogo donde podrás navegar por las carpetas de tu Android para seleccionar el que será el nuevo ícono.

Esta aplicación no reemplaza en ícono de la app a nivel raíz, pero creará un acceso directo con la imagen que proporcionaste. Esta es una buena noticia para ti y todos aquellos que no tienen acceso root en sus teléfonos. Te recuerdo que puedes seguir estos pasos para cambiar los íconos que quieras y personalizar al máximo tu Android.
¿De verdad está tan feo el nuevo diseño de Instagram?